✨ 扩展欧几里得算法详解 ✨

📚 扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是数学领域中的一个重要工具，主要用于求解线性丢番图方程 $ax + by = \gcd(a, b)$ 的整数解。简单来说，它不仅能计算两个整数的最大公约数（GCD），还能找到满足上述等式的 $x$ 和 $y$ 的具体值！

🎯 算法的核心思想来源于欧几里得算法（辗转相除法）。通过递归或迭代的方式，不断用较小的数去除较大的数，最终得到最大公约数。而扩展部分则记录每一步的商和余数关系，反向推导出系数 $x$ 和 $y$。

🔍 举个例子：求解 $120x + 23y = \gcd(120, 23)$。

1️⃣ 首先利用普通欧几里得算法，得到 $\gcd(120, 23) = 1$；

2️⃣ 接着通过回溯步骤，找到 $x = -9$ 和 $y = 47$ 满足原式！

💡 这个算法广泛应用于密码学、数论等领域。无论是编程实现还是理论分析，掌握它都至关重要。💪

🌟 总结：扩展欧几里得算法不仅强大，还充满智慧，是每位程序员和数学爱好者的必备技能！✨